1、首先需要追加对“不规则梯形”的定义。

2、 即两条平行线段作为底边，斜边为曲线的“梯形”，这种梯形称为“曲边梯形” “不规则梯形”的定义太泛，否则，应将问题转化为“曲边梯形”来系统地处理问题。

3、 A类：讨论一条斜边垂直两底，的曲边梯形的面积。

【资料图】

4、 求这类梯形的面积可采用分割求和再取极限的方法求出。

5、 可将垂直两底的斜边进行n等分，把曲边梯形分成n个小的曲边梯形。

6、 设大的曲边梯形的高h，每个小的曲边梯形的高为h0 在每个小的曲线边梯形中，做底边的平行线，被两斜边截取的线段为y 则在单个小的曲边梯形中，设该线段的最小值为y1，最大值为有y2， （yy2是随着不同的小的曲边梯形而变化的） 单个小的曲边梯形的面积大于h0*y1，小于h0*y2 所有小的曲边梯形的面积相加，所得的和，一定是 大于所有单个曲边梯形的最小面积之和，即所有h0*y1之和 小于所有单个曲边梯形的最小面积之和，即所有h0*y2之和 当分割的n越大，（所有h0*y2之和）与（所有h0*y1之和）的差越小 当n趋于无穷大的时候，（所有h0*y2之和）与（所有h0*y1之和）的差可以小于任何一个给定的正数。

7、 （所有h0*y2之和）-（所有h0*y1之和）＜任意一个数给定的正数 因为：（所有h0*y1之和）≤大的曲边梯形面积≤（所有h0*y2之和） 也就是说大的曲边梯形面积与（所有h0*y1之和）的差别小于任意一个给定的正数。

8、 如 将垂直于两底的斜边放在一个平面直角坐标系的X轴上，一条底边放在Y正半轴上，另一条底边在第一象限。

9、 另一条斜边是曲线，为函数图像y=f(x)，可以是光滑的曲线，也可能是分段函数等等。

10、 则该曲边梯形的面积表示为定积分S=∫f(x)，从0积到h。

11、 如果曲边梯形两斜边都是曲线，上下斜边的函数为f(x),g(x) 则面积可表示为S=∫(f(x)-g(x))，从0积到h。

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